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Compacité (mathématiques)

Indice Compacité (mathématiques)

En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue.

94 relations: Algèbre des parties d'un ensemble, Application propre, Applications ouvertes et fermées, Axiome du choix, Émile Borel, Base (topologie), Canonique (mathématiques), Chemin (topologie), Compacité séquentielle, Compactification (mathématiques), Compactification de Stone-Čech, Connexité (mathématiques), Continuité (mathématiques), Convergence simple, Cube de Hilbert, Ensemble dénombrable, Ensemble de Cantor, Ensemble discret, Entier naturel, Espace compactement engendré, Espace dénombrablement compact, Espace de Lindelöf, Espace de suites ℓp, Espace localement compact, Espace métrique, Espace métrisable, Espace noethérien, Espace normal, Espace paracompact, Espace précompact, Espace séparé, Espace topologique, Extremum, Famille (mathématiques), Fermé (topologie), Filtre (mathématiques), Fonction multivaluée, Fundamenta Mathematicae, Georges Skandalis, Graphe d'une fonction, Gustave Choquet, Hémicontinuité, Henri-Léon Lebesgue, Homéomorphisme, Intervalle (mathématiques), Isopérimétrie, Jacques Dixmier, James Munkres, James Waddell Alexander II, Jean-Paul Pier, ..., Jun-iti Nagata, Karl Weierstrass, Kazimierz Kuratowski, Kiiti Morita, Lemme de Zorn, Lemme du tube, Limite d'une suite, Longue droite, Nombre réel, Ordre total, Ouvert (topologie), Partie relativement compacte, Périmètre, Point adhérent, Point de Fermat, Polygone régulier, Prébase, Premier ordinal non dénombrable, Prentice Hall, Presses universitaires de France, Proposition contraposée, Recouvrement (mathématiques), Relation d'ordre, Segment (mathématiques), Sous-suite, Suite bornée, Suite généralisée, Théorème de Bolzano-Weierstrass, Théorème de Borel-Lebesgue, Théorème de Heine, Théorème de Tykhonov, Théorème des valeurs extrêmes, Théorème des valeurs intermédiaires, Théorème isopérimétrique, Topologie, Topologie cofinie, Topologie de l'ordre, Topologie de la droite réelle, Topologie grossière, Topologie induite, Topologie produit, Ultrafiltre, Union (mathématiques), Valeur d'adhérence. Développer l'indice (44 plus) »

Algèbre des parties d'un ensemble

En théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble, muni des opérations d'intersection, de réunion, et de passage au complémentaire, possède une structure d'algèbre de Boole.

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Application propre

En mathématiques, une application est dite propre si elle vérifie une certaine propriété topologique.

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Applications ouvertes et fermées

En mathématiques, et plus précisément en topologie, une application ouverte est une application entre deux espaces topologiques envoyant les ouverts de l'un vers des ouverts de l'autre.

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Axiome du choix

Pour tout ensemble d'ensembles non vides (les jarres), il existe une fonction qui associe à chacun de ces ensembles (ces jarres) un élément contenu dans cet ensemble (cette jarre). En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles qui Il a été formulé pour la première fois par Ernest Zermelo en 1904 pour la démonstration du théorème de Zermelo.

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Émile Borel

Émile Borel, né à Saint-Affrique le et mort à Paris le, est un mathématicien français, professeur à la Faculté des sciences de Paris.

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Base (topologie)

En mathématiques, une base d'une topologie est un ensemble d'ouverts tel que tout ouvert de la topologie soit une réunion d'éléments de cet ensemble.

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Canonique (mathématiques)

En mathématiques, l'adjectif « canonique » a principalement deux emplois spécifiques.

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Chemin (topologie)

En mathématiques, notamment en analyse complexe et en topologie, un chemin est la modélisation d'une succession continue de points entre un point initial et un point final.

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Compacité séquentielle

En mathématiques, un espace séquentiellement compact est un espace topologique dans lequel toute suite possède au moins une sous-suite convergente.

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Compactification (mathématiques)

Exemple de compactification En topologie, la compactification est un procédé général de plongement d'un espace topologique comme sous-espace dense d'un espace compact.

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Compactification de Stone-Čech

En mathématiques, et plus précisément en topologie générale, la compactification de Stone-Čech (découverte en 1937 par Marshall Stone et Eduard Čech) est une technique de construction d'un espace compact prolongeant un espace topologique donné X; plus précisément, il s'agit de la construction d'une application universelle allant de X vers un espace compact βX.

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Connexité (mathématiques)

La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ».

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Continuité (mathématiques)

En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction.

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Convergence simple

En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques.

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Cube de Hilbert

En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit K.

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Ensemble dénombrable

En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers.

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Ensemble de Cantor

En mathématiques, l'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor), est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.

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Ensemble discret

En mathématiques, plus précisément en topologie, un ensemble discret est un sous-ensemble d'un espace topologique sur lequel la topologie induite est la topologie discrète.

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Entier naturel

En mathématiques, un entier naturel est un nombre permettant fondamentalement de compter des objets considérés comme des unités équivalentes: un jeton, deux jetons… une carte, deux cartes, trois cartes… Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule).

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Espace compactement engendré

En mathématiques, un espace topologique est dit compactement engendré si c'est un k-espace faiblement Hausdorff.

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Espace dénombrablement compact

En mathématiques, un espace dénombrablement compact est un espace topologique dont tout recouvrement par une famille dénombrable d'ouverts possède un sous-recouvrement fini.

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Espace de Lindelöf

En mathématiques, un espace de Lindelöf est un espace topologique dont tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement dénombrable.

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Espace de suites ℓp

En mathématiques, l'espace est un exemple d'espace vectoriel, constitué de suites à valeurs réelles ou complexes et qui possède, pour, une structure d'espace de Banach.

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Espace localement compact

En topologie, un espace localement compact est un espace séparé qui admet des voisinages compacts pour tous ses points.

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Espace métrique

En mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie.

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Espace métrisable

En mathématiques, plus précisément en topologie générale, on dit qu'un espace topologique ou un espace uniforme est métrisable lorsque sa structure est induite par une distance; on dit qu'il est ultramétrisable si cette distance est ultramétrique.

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Espace noethérien

En mathématiques, un espace noethérien (le nom fait référence à Emmy Noether) est un espace topologique qui vérifie la condition de chaîne descendante sur les fermés ou, ce qui revient au même, la condition de chaîne ascendante sur les ouverts.

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Espace normal

Un espace topologique séparé ''X'' est dit normal lorsque, pour tous fermés disjoints ''E'' et ''F'' de ''X'', il existe des ouverts disjoints ''U'' et ''V'' tels que ''U'' contienne ''E'' et ''V'', ''F''. En mathématiques, un espace normal est un espace topologique vérifiant un axiome de séparation plus fort que la condition usuelle d'être un espace séparé.

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Espace paracompact

Un espace topologique est dit paracompact s'il est séparé et si tout recouvrement ouvert admet un raffinement (ouvert) localement fini.

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Espace précompact

En topologie, une branche des mathématiques, un espace métrique E est précompact si, pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules de rayon ε.

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Espace séparé

En mathématiques, un espace séparé, dit aussi espace de Hausdorff, est un espace topologique dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints.

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Espace topologique

La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un cadre général pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage.

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Extremum

Un extremum (pluriel extrema ou extremums), ou extrémum (pluriel extrémums), est une valeur extrême, soit maximum, soit minimum.

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Famille (mathématiques)

En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou suite indexée par tous les entiers naturels.

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Fermé (topologie)

En mathématiques, dans un espace topologique E, un fermé est un sous-ensemble de E dont le complémentaire est un ouvert.

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Filtre (mathématiques)

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie générale, un filtre est une structure définie sur un ensemble, et permettant d'étendre la notion de limite aux situations les plus générales.

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Fonction multivaluée

Ce diagramme représente une multifonction: à chaque élément de ''X'' on fait correspondre une partie de ''Y''; ainsi à l'élément 3 de ''X'' correspond la partie de ''Y'' formée des deux points ''b'' et ''c''. En mathématiques, une fonction multivaluée (aussi appelée correspondance, fonction multiforme, fonction multivoque ou simplement multifonction) est une relation binaire quelconque, improprement appelée fonction car non fonctionnelle: à chaque élément d'un ensemble elle associe, non pas au plus un élément mais possiblement zéro, un ou plusieurs éléments d'un second ensemble.

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Fundamenta Mathematicae

Fundamenta Mathematicae (abrégé en Fund. Math.) est une revue de mathématiques publiée par l'académie polonaise des sciences.

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Georges Skandalis

Georges Skandalis est un mathématicien grec et français, né le à Athènes.

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Graphe d'une fonction

Représentation du graphe de la fonction f \colon \beginalign&\scriptstyle -1,~1,5 \to -1,~1,5 \\ &\textstyle x \mapsto \frac(4x^3-6x^2+1)\sqrtx+13-x\endalign. Le graphe d'une fonction de ''E'' dans ''F'' est le sous-ensemble G de ''E''×''F'' formé par les couples d'éléments liés par la correspondance: G.

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Gustave Choquet

Gustave Choquet, né le à Solesmes (Nord) et mort le à Lyon, est un mathématicien français.

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Hémicontinuité

En mathématiques, les deux concepts topologiques duaux d'hémicontinuité supérieure et d'hémicontinuité inférieure permettent d'étendre aux multifonctions la notion de continuité d'une fonction.

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Henri-Léon Lebesgue

Henri-Léon Lebesgue (1875-1941), plus connu sous le nom de Henri Lebesgue, né à Beauvais, est l'un des grands mathématiciens français de la première moitié du.

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Homéomorphisme

En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est continue.

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Intervalle (mathématiques)

En mathématiques, un intervalle (du latin) est étymologiquement un ensemble ordonné de points compris entre deux bornes.

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Isopérimétrie

En géométrie euclidienne, l'isopérimétrie est initialement l'étude des propriétés des formes géométriques du plan qui partagent le même périmètre, ce qui se généralise ensuite dans les autres espaces euclidiens.

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Jacques Dixmier

Jacques Dixmier est un mathématicien français, né le, qui a été membre du groupe Bourbaki.

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James Munkres

James Raymond Munkres, né le à Omaha (Nebraska, États-Unis), est un professeur émérite américain de mathématiques du MIT et l'auteur de plusieurs textes dans le domaine de la topologie, comme,, et.

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James Waddell Alexander II

James Waddell Alexander II (1888-1971) est un mathématicien topologue américain de l'entre-deux-guerres.

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Jean-Paul Pier

Jean-Paul Pier, né le à Esch-sur-Alzette et mort le à Bettembourg, est un mathématicien luxembourgeois, spécialiste d'analyse harmonique et d'histoire des mathématiques.

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Jun-iti Nagata

est un mathématicien japonais spécialiste de topologie générale.

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Karl Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, habituellement appelé Karl Weierstrass, orthographié Weierstraß en allemand, né le à Ostenfelde (Province de Westphalie), mort le à Berlin, est un mathématicien allemand, lauréat de la médaille Copley en 1895.

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Kazimierz Kuratowski

Kazimierz Kuratowski né en 1896 à Varsovie et mort en 1980 dans cette même ville, est un mathématicien polonais.

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Kiiti Morita

(-) est un mathématicien japonais dans les domaines de l'algèbre (théorie des anneaux, algèbre cohomologique) et de la topologie.

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Lemme de Zorn

En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal.

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Lemme du tube

En mathématiques, le lemme du tube est le résultat de topologie générale suivant.

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Limite d'une suite

En mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands.

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Longue droite

La longue droite est un espace topologique analogue à la droite réelle, « en beaucoup plus long ».

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Nombre réel

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entièreCette partie entière par troncature, désignant les chiffres « à gauche de la virgule » ne correspond pas forcément à la partie entière par défaut: dans le cas d’un nombre réel négatif comme, la partie entière par défaut vaut.

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Ordre total

En mathématiques, on appelle relation d'ordre total sur un ensemble E toute relation d'ordre ≤ pour laquelle deux éléments de E sont toujours comparables, c'est-à-dire que \forall x,y\in E\quad x\le y\texty\le x. On dit alors que E est totalement ordonné par ≤.

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Ouvert (topologie)

En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière.

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Partie relativement compacte

En mathématiques, une partie relativement compacte d'un espace topologique X est un sous-ensemble Y de X inclus dans une partie compacte de X (pour la topologie induite),.

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Périmètre

alt.

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Point adhérent

En mathématiques et plus précisément en topologie, un point adhérent à une partie A d'un espace topologique E est un élément de l'adhérence de A, c'est-à-dire un point x de E tel que tout voisinage de x rencontre A (i.e. est non disjoint de A) ou encore: tout ouvert contenant x rencontre A. Tous les points de A sont adhérents à A; d'autres points de E peuvent aussi, selon le cas, être adhérents à A. La notion de point adhérent à un ensemble A n'est pas intrinsèque, en ce sens qu'elle dépend de l'espace topologique dont A est vu comme sous-ensemble.

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Point de Fermat

En géométrie euclidienne, le point de Fermat d'un triangle ABC donné est le point F du plan pour lequel la somme FA + FB + FC des distances aux trois sommets du triangle est minimale.

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Polygone régulier

En géométrie euclidienne, un polygone régulier est un polygone à la fois équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) et équiangle (tous ses angles ont la même mesure).

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Prébase

En mathématiques, plus précisément en topologie, une prébase A d'une topologie ''T'' sur un ensemble ''X'' est un ensemble de parties de X qui engendre T, c'est-à-dire tel que T soit la plus petite topologie sur X pour laquelle tous les éléments de A sont des ouverts.

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Premier ordinal non dénombrable

En mathématiques, le premier ordinal non dénombrable, noté ω₁ ou parfois Ω, est le plus petit ordinal non dénombrable; c'est aussi l'ensemble des ordinaux finis ou infinis dénombrables.

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Prentice Hall

Prentice Hall est un éditeur majeur d'ouvrages universitaires et scolaires.

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Presses universitaires de France

Les Presses universitaires de France (PUF) sont une maison d'édition fondée en 1921 par un collège de professeurs.

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Proposition contraposée

En mathématiques et en logique, la contraposition transforme une implication « si A alors B » en une implication équivalente « si non B alors non A ».

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Recouvrement (mathématiques)

Un recouvrement d'un ensemble E est une famille (X) d'ensembles dont l'union contient E, c'est-à-dire telle que tout élément de E appartient à au moins l'un des X.

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Relation d'ordre

Une relation d'ordre dans un ensemble est une relation binaire dans cet ensemble qui permet de comparer ses éléments de manière cohérente.

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Segment (mathématiques)

AB. En géométrie, un segment de droite (souvent abrégé en « segment ») est une portion de droite délimitée par deux points, appelés extrémités du segment.

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Sous-suite

En mathématiques, une sous-suite (ou une suite extraite) est une suite obtenue en ne prenant que certains éléments (une infinité) d'une suite de départ.

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Suite bornée

En mathématiques, une suite est dite bornée si l'ensemble de ses valeurs est une partie bornée.

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Suite généralisée

En mathématiques, la notion de suite généralisée, ou suite de Moore-Smith, ou filet, étend celle de suite, en indexant les éléments d'une famille par des éléments d'un ensemble ordonné filtrant qui n'est plus nécessairement celui des entiers naturels.

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Théorème de Bolzano-Weierstrass

En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts.

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Théorème de Borel-Lebesgue

En topologie de ''n'', le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble A de vecteurs.

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Théorème de Heine

Le théorème de Heine, démontré par Eduard Heine en 1872, s'énonce ainsi: toute application continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue.

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Théorème de Tykhonov

L'image montre trois segments compacts. Le théorème dit que le produit, i.e. le parallélépipède plein est toujours compact. L'image montre un cas fini; le théorème reste vraie si on fait un produit cartésien d'un ensemble infini de compacts. Le théorème de Tychonov (ou Tychonoff) est un théorème de topologie qui affirme qu'un produit d'espaces topologiques compacts est compact au sens de la topologie produit.

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Théorème des valeurs extrêmes

En mathématiques, et plus précisément en analyse réelle, le théorème des valeurs extrêmes ou théorème des bornes atteintes ou théorème des bornes ou théorème de Weierstrass énonce qu'une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

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Théorème des valeurs intermédiaires

s est prise trois fois. En mathématiques, le théorème des valeurs intermédiaires (abrégé en TVI), parfois appelé théorème de Bolzano, est un résultat important en analyse et concerne des fonctions continues sur un intervalle.

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Théorème isopérimétrique

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un théorème isopérimétrique est une généralisation des résultats plus élémentaires d'isopérimétrie montrant par exemple que le disque est, à périmètre donné, la figure ayant la plus grande aire.

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Topologie

Déformation continue d'une tasse avec une anse, en un tore (bouée). Un ruban de Möbius est une surface fermée dont le bord se réduit à un cercle. De tels objets sont des sujets étudiés par la topologie. La topologie est la branche de la géométrie qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre.

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Topologie cofinie

La topologie cofinie est la topologie que l'on peut définir sur tout ensemble X de la manière suivante: l'ensemble des ouverts est constitué de l'ensemble vide et parties de X cofinies, c'est-à-dire dont le complémentaire dans X est fini.

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Topologie de l'ordre

En mathématiques, la topologie de l'ordre est une topologie naturelle définie sur tout ensemble ordonné (E, ≤), et qui dépend de la relation d'ordre ≤.

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Topologie de la droite réelle

Richard Dedekind (1831 - 1916) a défini rigoureusement les nombres réels et posé les bases de leur étude topologique. La topologie de la droite réelle (ou topologie usuelle de R) est une structure mathématique qui donne, pour l'ensemble des nombres réels, des définitions précises aux notions de limite et de continuité.

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Topologie grossière

En mathématiques et plus précisément en topologie, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble X est la topologie sur ''X'' dont les seuls ouverts sont l'ensemble vide et X. Cette topologie est la moins fine de toutes les topologies qu'il est possible de définir sur un ensemble; intuitivement, tous les points de l'espace topologique ainsi créé sont « groupés ensemble » et ne peuvent pas être distingués du point de vue topologique.

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Topologie induite

En mathématiques, la topologie induite est une topologie définie sur toute partie Y d'un espace topologique X: c'est la trace sur Y de la topologie sur X. Autrement dit, l'ensemble des ouverts de Y (muni de la topologie induite) est:. Ou encore: les voisinages dans Y d'un point sont les traces sur Y de ses voisinages dans X. On dit alors que Y est un sous-espace de X. La topologie induite est souvent sous-entendue dans les énoncés de topologie: par exemple, lorsque l'on a un espace topologique X donné, une partie Y de X sera dite compacte si elle est compacte pour la topologie induite par X sur Y.

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Topologie produit

En mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie produit est une topologie définie sur un produit d'espaces topologiques.

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Ultrafiltre

Le diagramme de Hasse montre l'ensemble de tous les sous-ensembles de 1,2,3,4, partiellement ordonnés par inclusion d'ensemble (⊆). L'ensemble supérieur ↑1,4 est surligné en vert foncé, c'est un filtre. Cependant, ce n'est pas un ultrafiltre, car il peut toujours être étendu au filtre correctement plus grand ↑1, représenté en vert clair. Ce dernier ne peut pas être étendu à son tour à un filtre non trivialement plus grand, il s'agit donc d'un ultrafiltre. En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un ultrafiltre sur un ensemble X est une collection de sous-ensembles de X qui est un filtre, et qui n'est pas contenue dans un filtre plus grand.

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Union (mathématiques)

Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunion est une opération ensembliste de base.

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Valeur d'adhérence

En topologie, si (u) est une suite à valeurs dans un ensemble E, une valeur d'adhérence de la suite (u) est un point de E près duquel s'accumulent une infinité de termes de la suite.

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Redirections ici:

Compact (mathématiques), Compact (topologie), Ensemble compact, Espace compact, Propriété de Borel-Lebesgue, Quasi-compacité, Quasi-compact, Théorème des compacts emboités, Théorème des compacts emboîtés.

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