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Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

En mathématiques, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, abrégée en ZF, est une axiomatisation en logique du premier ordre de la théorie des ensembles telle qu'elle avait été développée dans le dernier quart du par Georg Cantor.

48 relations: Abraham Adolf Fraenkel, Akihiro Kanamori, Axiomatisation, Axiome d'extensionnalité, Axiome de fondation, Axiome de l'ensemble des parties, Axiome de l'ensemble vide, Axiome de l'infini, Axiome de la paire, Axiome de la réunion, Axiome du choix, Azriel Lévy, Calcul des prédicats, Cambridge University Press, Classe (mathématiques), Elsevier (éditeur), Encyclopædia Britannica, Encyclopædia of Mathematics, Ernst Zermelo, Fondements des mathématiques, Forcing, Georg Cantor, Grand cardinal, Hypothèse du continu, Kurt Gödel, Lemme de Zorn, Mathématiques, Méréologie, Nombre ordinal, Ordinal de Hartogs, Paradoxe de Russell, Paul Cohen, Richard Montague, Schéma d'axiomes de compréhension, Schéma d'axiomes de remplacement, Théorème de Zermelo, Théorèmes d'incomplétude de Gödel, Théorie axiomatique, Théorie des catégories, Théorie des ensembles, Théorie des ensembles de Morse-Kelley, Théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel, Théorie des ensembles de Zermelo, Théorie des ensembles non bien fondés, Théorie naïve des ensembles, Thoralf Skolem, Univers constructible, Yehoshua Bar-Hillel.

Abraham Adolf Fraenkel

Abraham Adolf Halevi Fraenkel, né le à Munich et mort le à Jérusalem, plus connu sous le nom de Abraham Adolf Fraenkel, ou plus simplement Abraham Fraenkel, est un mathématicien d'abord allemand puis israélien.

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Akihiro Kanamori

est un mathématicien américain né en 1948 à Tokyo au Japon.

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Axiomatisation

En mathématiques, l'axiomatisation d'une théorie est un procédé qui consiste à organiser celle-ci en la fondant sur des axiomes, et à en déduire rigoureusement des théorèmes, dans un cadre qui peut être purement logique, ou celui de la théorie des ensembles.

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Axiome d'extensionnalité

L’axiome d’extensionnalité est l’un des axiomes-clés de la plupart des théories des ensembles, en particulier, des théories des ensembles de Zermelo, et de Zermelo-Fraenkel (ZF).

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Axiome de fondation

L'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie des ensembles.

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Axiome de l'ensemble des parties

En mathématiques, l'axiome de l'ensemble des parties est l'un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo-Fraenkel.

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Axiome de l'ensemble vide

L'axiome de l'ensemble vide est, en mathématiques, l'un des axiomes possibles de la théorie des ensembles.

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Axiome de l'infini

En mathématiques, dans le domaine de la théorie des ensembles, l'axiome de l'infini est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, qui assure l'existence d'un ensemble infini, plus précisément d'un ensemble qui contient une représentation des entiers naturels.

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Axiome de la paire

En mathématiques, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo-Fraenkel.

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Axiome de la réunion

En théorie des ensembles, l’axiome de la réunion (ou «axiome de la somme») est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, ZF.

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Axiome du choix

Pour tout ensemble d'ensembles non vides (les jarres), il existe une fonction qui associe à chacun de ces ensembles (ces jarres) un élément contenu dans cet ensemble (cette jarre). En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles qui Il a été formulé pour la première fois par Ernest Zermelo en 1904 pour la démonstration du théorème de Zermelo.

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Azriel Lévy

Azriel Lévy, né en 1934 à Haïfa, est un mathématicien israélien, logicien et professeur émérite à l'université hébraïque de Jérusalem.

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Calcul des prédicats

Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des prédicats est une formalisation du langage des mathématiques, proposée par Gottlob Frege, entre la fin du et le début du.

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Cambridge University Press

Cambridge University Press (ou « CUP », en français: « Presses universitaires de Cambridge ») est une maison d'édition universitaire britannique rattachée à l’université de Cambridge.

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Classe (mathématiques)

En mathématiques, la notion de classe généralise celle d'ensemble.

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Elsevier (éditeur)

Elsevier B.V. est un groupe éditorial, filiale de la multinationale néerlando-britannique RELX Group.

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Encyclopædia Britannica

LEncyclopædia Britannica (couramment orthographiée avec un ''e'' à la place du æ original) est une encyclopédie généraliste de langue anglaise publiée par Encyclopædia Britannica, Inc., une société privée basée à Chicago.

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Encyclopædia of Mathematics

LEncyclopædia of Mathematics est une encyclopédie de mathématiques en ligne, sous forme de wiki, accessible gratuitement.

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Ernst Zermelo

Ernst Zermelo c. 1900 Ernst Zermelo (à Berlin - à Fribourg-en-Brisgau, à l'état civil, Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo) est un mathématicien allemand.

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Fondements des mathématiques

Les fondements des mathématiques sont les principes sur lesquels est établie cette science.

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Forcing

En mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le forcing est une technique inventée par Paul Cohen pour prouver des résultats de cohérence et d'indépendance en théorie des ensembles.

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Georg Cantor

Georg Cantor est un mathématicien allemand, né le à Saint-Pétersbourg (Empire russe) et mort le à Halle (Empire allemand).

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Grand cardinal

En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un grand cardinal est un nombre cardinal transfini satisfaisant une propriété qui le distingue des ensembles constructibles avec l'axiomatique usuelle (ZFC) tels que aleph-zéro, aleph-''ω'', etc., et le rend nécessairement plus grand que tous ceux-ci.

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Hypothèse du continu

En théorie des ensembles, l'hypothèse du continu (HC), due à Georg Cantor, affirme qu'il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels.

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Kurt Gödel

Kurt Gödel, né le à Brno et mort le à Princeton (New Jersey), est un logicien et mathématicien autrichien naturalisé américain.

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Lemme de Zorn

En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal.

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Mathématiques

Raisonnement mathématique sur un tableau. Les mathématiques (ou la mathématique) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les nombres, les formes, les structures et les transformations.

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Méréologie

La méréologie (du grec ancien, « partie ») est une collection de systèmes formels axiomatiques qui traitent des relations entre la partie et le tout.

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Nombre ordinal

En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le d'un ensemble bien ordonné quelconque, tout comme en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc.

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Ordinal de Hartogs

En théorie des ensembles, l'ordinal de Hartogs d'un ensemble A désigne le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans A. Son existence utilise le remplacement et se démontre sans l'axiome du choix, contrairement au théorème de Zermelo qui revient à l'existence d'un ordinal en bijection avec A, et équivaut, lui, à l'axiome du choix.

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Paradoxe de Russell

Le paradoxe de Russell, ou antinomie de Russell, est un paradoxe très simple de la théorie des ensembles (Russell lui-même parle de théorie des classes, en un sens équivalent), qui a joué un rôle important dans la formalisation de celle-ci.

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Paul Cohen

Paul Joseph Cohen (1934-2007) est un mathématicien américain.

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Richard Montague

Richard Merett Montague, (né le à Stockton (Californie), mort le à Los Angeles), est un mathématicien et philosophe américain qui a eu une influence notable en linguistique.

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Schéma d'axiomes de compréhension

Le schéma d'axiomes de compréhension, ou schéma d'axiomes de séparation, est un schéma d'axiomes de la théorie des ensembles introduit par Zermelo dans sa théorie des ensembles, souvent notée Z. On dit souvent en abrégé schéma de compréhension ou schéma de séparation.

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Schéma d'axiomes de remplacement

Le schéma d'axiomes de remplacement, ou schéma d'axiomes de substitution, est un schéma d'axiomes de la théorie des ensembles introduit en 1922 indépendamment par Abraham Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem.

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Théorème de Zermelo

En mathématiques, le théorème de Zermelo, appelé aussi théorème du bon ordre, est un résultat de théorie des ensembles, démontré en 1904 par Ernst Zermelo, qui affirme.

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Théorèmes d'incomplétude de Gödel

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »).

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Théorie axiomatique

Quand on parle de théorie mathématique, on fait référence à une somme d'énoncés, de définitions, de méthodes de preuve, etc.

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Théorie des catégories

La théorie des catégories étudie les structures mathématiques et leurs relations.

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Théorie des ensembles

La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du.

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Théorie des ensembles de Morse-Kelley

La théorie des ensembles de Morse-Kelley (parfois abrégée en MK) est une théorie axiomatique exprimée en premier ordre dont les objets sont des classes, c'est-à-dire des ensembles en un sens proche de celui de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC) mais aussi des « collections » d'ensembles ayant une même propriété, qui ne peuvent être considérés comme des ensembles sous peine de paradoxe, comme la collection de tous les ensembles.

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Théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel

La théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel, abrégée en NBG ou théorie des classes, est une théorie axiomatique essentiellement équivalente à la théorie ZFC de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix (et avec les mêmes variantes possibles), mais dont le pouvoir expressif est plus riche.

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Théorie des ensembles de Zermelo

La théorie des ensembles de Zermelo, telle que décrite dans un document important écrit par Ernst Zermelo en 1908, est l'ancêtre de la théorie des ensembles moderne.

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Théorie des ensembles non bien fondés

La théorie des ensembles non bien fondés est une variante de la théorie axiomatique des ensembles qui permet aux ensembles de s'appartenir les uns aux autres sans limite.

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Théorie naïve des ensembles

Les ensembles sont d'une importance fondamentale en mathématiques; en fait, de manière formelle, la mécanique interne des mathématiques (nombres, relations, fonctions, etc.) peut se définir en termes d'ensembles.

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Thoralf Skolem

Thoralf Albert Skolem (1887-1963) est un mathématicien et logicien norvégien.

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Univers constructible

En mathématiques et en théorie des ensembles, l'univers constructible, ou l'univers constructible de Gödel, noté, est une classe d'ensembles qui peuvent entièrement être décrits en termes d'ensembles plus simples.

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Yehoshua Bar-Hillel

Yehoshua Bar-Hillel (en hébreu: יהושע בר-הלל; né le 8 septembre 1915 à Vienne - mort le 25 septembre 1975 à Jérusalem) est un philosophe, linguiste et mathématicien israélien.

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Redirections ici:

Axiomatique de Zermelo-Fraenkel, Théorie ZF, ZFC, Zermelo-Fraenkel.

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