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Variété symplectique

Indice Variété symplectique

En mathématiques, une variété symplectique est une variété différentielle munie d'une forme différentielle de degré 2 fermée et non dégénérée, appelée forme symplectique.

33 relations: Champ de vecteurs hamiltonien, Connexion (mathématiques), Courbe intégrale, Difféomorphisme hamiltonien, Espace de configuration, Espace de Hilbert, Espace des phases, Espace vectoriel symplectique, Fibré cotangent, Forme bilinéaire non dégénérée, Forme de Liouville, Forme différentielle, Forme différentielle fermée, Forme symplectique, Forme volume, Géométrie symplectique, Groupe symplectique, Isomorphisme musical, Jean-Marie Souriau, Mathématiques, Matrice symplectique, Mécanique analytique, Mécanique hamiltonienne, Mécanique newtonienne, Quantification géométrique, Sous-variété lagrangienne, Symplectomorphisme, Tenseur métrique, Théorème de Darboux (géométrie), Théorème de Liouville (hamiltonien), Variété de Poisson, Variété différentielle, Variété kählérienne.

Champ de vecteurs hamiltonien

En géométrie différentielle et plus précisément en géométrie symplectique, dans l'étude des variétés symplectiques et des variétés de Poisson, un champ de vecteurs hamiltonien est un champ de vecteurs associé à une fonction réelle différentiable appelée hamiltonien de manière semblable au champ de vecteurs gradient en géométrie riemannienne.

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Connexion (mathématiques)

En géométrie différentielle, la connexion est un outil pour réaliser le transport parallèle.

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Courbe intégrale

fr.

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Difféomorphisme hamiltonien

En géométrie différentielle, les difféomorphismes hamiltoniens sont les difféomorphismes des variétés symplectiques obtenus dans les flots hamiltoniens.

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Espace de configuration

En physique et plus particulièrement en mécanique classique et en mécanique statistique, l'espace de configuration d'un système physique est l'ensemble des positions possibles que ce système peut atteindre.

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Espace de Hilbert

Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité.

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Espace des phases

Trajectoires dans l'espace des phases pour un pendule simple. L'axe X correspond à la position du pendule, et l'axe Y sa vitesse. Dans la théorie des systèmes dynamiques, l'espace des phases (ou espace d'état) d'un système est l'espace mathématique dans lequel tous les états possibles du système sont représentés; chaque état possible correspondant à un point unique dans l'espace des phases.

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Espace vectoriel symplectique

En algèbre, un espace vectoriel est symplectique quand on le munit d'une forme symplectique, c'est-à-dire une forme bilinéaire alternée et non dégénérée.

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Fibré cotangent

En géométrie différentielle, le fibré cotangent associé à une variété différentielle M est le fibré vectoriel T*M de son fibré tangent TM: en tout point m de M, l' est défini comme l'espace dual de l'espace tangent: T_m^*M.

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Forme bilinéaire non dégénérée

En mathématiques, une forme bilinéaire non dégénérée est une forme bilinéaire dont les deux espaces singuliers (à droite et à gauche) sont réduits à.

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Forme de Liouville

En géométrie différentielle, la forme de Liouville est une 1-forme différentielle naturelle sur le fibré cotangent d'une variété différentielle.

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Forme différentielle

En géométrie différentielle, une forme différentielle est la donnée d'un champ d'applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d'une variété différentielle possédant une certaine régularité.

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Forme différentielle fermée

En topologie différentielle, une forme différentielle est dite fermée lorsque sa dérivée extérieure est nulle.

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Forme symplectique

Une forme symplectique est un objet mathématique à la base de la géométrie symplectique et intervenant - avec des caractéristiques différentes - dans les espaces vectoriels; dans les fibrés vectoriels; sur les variétés différentielles.

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Forme volume

En géométrie différentielle, une forme volume généralise la notion de déterminant aux variétés différentielles.

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Géométrie symplectique

La géométrie symplectique est un domaine de la recherche mathématique, s'intéressant à l'origine à une formulation mathématique naturelle de la mécanique classique et développé avec une notion d'entrelacement entre la géométrie différentielle et les systèmes dynamiques, avec des applications en géométrie algébrique, en géométrie riemannienne et en géométrie de contact.

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Groupe symplectique

En mathématiques, le terme groupe symplectique est utilisé pour désigner deux familles différentes de groupes linéaires.

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Isomorphisme musical

En mathématiques, plus précisément en géométrie différentielle, l'isomorphisme musical (ou isomorphisme canonique) est un isomorphisme entre le fibré tangent \mathrmM et le fibré cotangent \mathrm^* M d'une variété pseudo-riemannienne induite par son tenseur métrique.

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Jean-Marie Souriau

Jean-Marie Souriau, né le à Paris et décédé le à Aix-en-Provence, est un mathématicien français, principalement connu pour ses travaux sur la géométrie symplectique.

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Mathématiques

Les mathématiques (ou la mathématique) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les ensembles mathématiques, les nombres, les formes, les structures, les transformations; ainsi qu'aux relations et opérations mathématiques qui existent entre ces objets.

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Matrice symplectique

En mathématique, une matrice symplectique est une matrice M de taille 2n par 2n (dont les entrées sont typiquement soit des réels soit des complexes) satisfaisant la condition où MT désigne la matrice transposée de M et J est la matrice par blocs antisymétrique définie par: \begin 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end (In étant la matrice identité n×n).

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Mécanique analytique

La mécanique analytique est une formulation de la mécanique classique basée sur le calcul variationnel.

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Mécanique hamiltonienne

La mécanique hamiltonienne est une reformulation de la mécanique newtonienne.

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Mécanique newtonienne

La mécanique newtonienne est une branche de la physique.

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Quantification géométrique

En physique mathématique, la quantification géométrique est une approche formelle du passage de la mécanique classique à la mécanique quantique fondée sur la géométrie symplectique.

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Sous-variété lagrangienne

Les sous-variétés lagrangiennes sont l'analogue en géométrie symplectique des sous-espaces lagrangiens en algèbre linéaire.

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Symplectomorphisme

En géométrie symplectique, un symplectomorphisme est un isomorphisme de variétés symplectiques.

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Tenseur métrique

En géométrie, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur d'ordre 2 permettant de définir le produit scalaire de deux vecteurs en chaque point d'un espace, et qui est utilisé pour la mesure des longueurs et des angles.

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Théorème de Darboux (géométrie)

Portrait de Gaston Darboux, mathématicien ayant démontré ce théorème. Le théorème de Darboux est un théorème central de la géométrie symplectique: les variétés symplectiques de dimension 2n sont deux à deux localement symplectomorphes.

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Théorème de Liouville (hamiltonien)

En physique, le théorème de Liouville, nommé d'après le mathématicien Joseph Liouville, est un théorème utilisé par le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, mais aussi en mécanique quantique et en physique statistique.

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Variété de Poisson

En géométrie, une structure de Poisson sur une variété différentielle M est un crochet de Lie \ (appelé crochet de Poisson dans ce cas) sur l'algèbre (M) des fonctions lisses de M à valeurs réelles, vérifiant formule de Leibniz En d'autres termes, une structure de Poisson est structure d'algèbre de Lie sur l'espace vectoriel des fonctions lisses sur M de sorte que X_ \stackrel \: (M) \to (M) est un champ de vecteurs pour toute fonction lisse f, appelé champ de vecteurs hamiltonien associé à f.

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Variété différentielle

En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle.

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Variété kählérienne

En mathématiques, une variété kählérienne ou variété de Kähler est une variété différentielle équipée d'une structure unitaire satisfaisant une condition d'intégrabilité.

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Redirections ici:

Variete symplectique, Variété symplétique.

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